How things work

去年上学期上过一门通识课《万物运行的奥秘》，上课的老师是个逗比，算是比较幽默的人。上这门课也算有所收获，今天突然想起来课上讲的一个例子，姑且记在这里。

问题是这样的，如何估计大气的质量。

我们知道，根据海拔高度，大气的分布是不均匀的。假设大气质量随高度的体密度函数为f(z)，地球球面为S，大气高度为h，则大气质量可以用微积分估算为。

显然要得到f(z)是非常困难的，但是我们不妨观察一下这个式子。

这实际上是一个面积微元上的质量，而如果我们把它乘上一个重力加速度，实际上就是海平面上的大气压。即

由于大气厚度相比地球半径比较小，可以近似认为$ℎ\ll 𝑅$，忽略掉g随高度的变化，取g(z)=g，取大气压为海平面的大气压，就可以得到:

忽略掉地表高度的变化以及不同地点大气压的变化，就可以有

又:

所以:

由:$𝑅=6371𝑘𝑚=6.371\times {10}^6𝑚,𝑃=1.01325\times {10}^5𝑃𝑎,𝑔=9.80665𝑘𝑔𝑚/{𝑠}^2$，故地球大气质量:

根据wiki，实际上地球大气质量约为$5.15\times {10}^{18}\text{kg}$，因此我们的结果误差约为2.3%，可以看到作为估算，还是比较准确的。

听说这实际上是84年的一个高考题，确实有点意思。整个问题的关键在于认识到大气压是一个天然的积分，有了这个切入点，其他的步骤其实都很简单。